Question

7．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為q，數(shù)列{c_n}中，c_n=a_nb_n，S_n是數(shù)列{c_n}前n項和，若S_m=11，S_2m=7，S_3m=-201（m為正偶數(shù)），則S_4m的值為（　　）

• A． -1601
• B． -1801
• C． -2001
• D． -2201

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由S_n=a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}_{1}{q}^{2}$+…+${a}_{n}_{1}{q}^{n-1}$，（q≠1）．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式可得：
S_n=$\frac{{a}_{1}_{1}-{a}_{n}_{1}{q}^{n}}{1-q}$-db₁$\frac{{q}^{n}-q}{（q-1）^{2}}$．不妨取m=2，可得S₂=11，S₄=7，S₆=-201．化簡可得：q²=4，b₁（d+dq）=-6，b₁（a₁+a₂q）=11．取q=-2，b₁d=6，a₁b₁=-23．可得：S₈=-201+${a}_{7}_{1}{q}^{6}$+${a}_{8}_{1}{q}^{7}$，代入化簡即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S_n=a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}_{1}{q}^{2}$+…+${a}_{n}_{1}{q}^{n-1}$，（q≠1）．
則qS_n=a₁b₁q+${a}_{2}_{1}{q}^{2}$+…+a_n-1$_{1}{q}^{n-1}$+${a}_{n}_{1}{q}^{n}$，
∴（1-q）S_n=a₁b₁+db₁（q+q²+…+q^n-1）-${a}_{n}_{1}{q}^{n}$=a₁b₁+db₁$\frac{q（{q}^{n-1}-1）}{q-1}$-${a}_{n}_{1}{q}^{n}$，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}_{1}-{a}_{n}_{1}{q}^{n}}{1-q}$-db₁$\frac{{q}^{n}-q}{（q-1）^{2}}$，
不妨取m=2，
則S₂=11，S₄=7，S₆=-201．
∴a₁b₁+a₂b₁q=11，a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}_{1}{q}^{2}$+${a}_{4}_{1}{q}^{3}$=7，a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}_{1}{q}^{2}$+${a}_{4}_{1}{q}^{3}$+${a}_{5}_{1}{q}^{4}$+${a}_{6}_{1}{q}^{5}$=-201，
可得q²=4，b₁（d+dq）=-6，b₁（a₁+a₂q）=11．
取q=-2，b₁d=6，a₁b₁=-23．
S₈=a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}_{1}{q}^{2}$+${a}_{4}_{1}{q}^{3}$+${a}_{5}_{1}{q}^{4}$+${a}_{6}_{1}{q}^{5}$+${a}_{7}_{1}{q}^{6}$+${a}_{8}_{1}{q}^{7}$=-201+${a}_{7}_{1}{q}^{6}$+${a}_{8}_{1}{q}^{7}$=-201+（a₁+6d）b₁×64+（a₁+7d）b₁×（-128）
=-201+64（-a₁b₁-8db₁）=-1801，
故選：B．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”、取特殊值方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．