已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切，過(guò)點(diǎn)P（4，0）的直線L與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；   
（2）求
OA
•
OB
的取值范圍．
（1）由題意知 e=
c
a
=
1
2
，∴e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
4
，即a2=
4
3
b2
又∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
6
=0相切
∴b=
6
1+1
=
3
，∴a2=4，b2=3，
故橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
（2）由題意知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y=k（x-4）．
疳直線方程y=k（x-4）代入橢圓方程可得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0
由△＞0得：1024k4-4（3+4k2）（64k2-12）＞0，解得k2＜
1
4
             
設(shè)A（x1，y1），B （x2，y2），則x1+x2=
32k2
3+4k2
，x1x2=
64k2-12
3+4k2

∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=(1+k2)•
64 k2-12
4k2+3
-4k2•
32k2
4k2+3
+16k2=25-
87
4k2+3

∵0≤k2＜
1
4
，
∴
OA
•
OB
∈[-4，
13
4
)
∴
OA
•
OB
的取值范圍是[-4，
13
4
)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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