Question

8．下列四個(gè)命題：①α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，sinα+cosα＞1；②α∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，若sinα+cosα＜0，則|cosα|＞|sinα|；③對(duì)任意的向量，必有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|≤|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|；④若$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，正確的序號(hào)為①②③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)公式sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α$+\frac{π}{4}$），根據(jù)正弦函數(shù)圖象，求出函數(shù)值域；
②由α的范圍0＜sinα＜-cosα，都是正數(shù)，可直接得出絕對(duì)值不等式；
③對(duì)任意的向量，分別對(duì)向量分類討論，得出結(jié)論；
④根據(jù)數(shù)量積的定義可判斷．

解答 解：①α∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，
sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α$+\frac{π}{4}$），α$+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$\sqrt{2}$sin（α$+\frac{π}{4}$）＞1，故正確；
②α∈（$\frac{π}{2}$，π）時(shí)，
sinα＞0，cosα＜0，
∵0＜sinα＜-cosα，
∴|-cosα|＞|sinα|，故正確；
③對(duì)任意的向量，
當(dāng)其中有零向量時(shí)或同向時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)反向或不共線時(shí)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可知必有|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|＜|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|，故正確；
④若$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，根據(jù)數(shù)量積的定義可知錯(cuò)誤．
故答案為①②③．

點(diǎn)評(píng) 考查了同角的正弦，余弦的求和問(wèn)題，向量模長(zhǎng)問(wèn)題和數(shù)量積問(wèn)題．