設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,
Snn
)(n∈N*)
均在函數(shù)y=-x+12的圖象上.
(Ⅰ)寫出Sn關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式;
(Ⅱ)求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
(Ⅲ)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和.
分析:(I)根據(jù)點(diǎn)(n,
Sn
n
)(n∈N*)
均在函數(shù)y=-x+12的圖象上,則點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程,代入方程即可求出Sn關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式;
(II)當(dāng)n≥2時,根據(jù)an=Sn-Sn-1求出通項(xiàng),驗(yàn)證首項(xiàng)即可;
(III)由(Ⅱ)知,a1,a2,…a6>0,數(shù)列{an}從第7項(xiàng)起均為負(fù)數(shù),然后討論n與6的大小,利用分段函數(shù)表示數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和.
解答:解 (Ⅰ)由題設(shè)得
Sn
n
=-n+12
,即Sn=n(-n+12)=-n2+12n.
(Ⅱ)當(dāng)n=1時,an=a1=S1=11;
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(-n2+12n)-(-(n-1)2+12(n-1))=-2n+13;
由于此時-2×1+13=11=a1,從而數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=-2n+13.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,a1,a2,…a6>0,數(shù)列{an}從第7項(xiàng)起均為負(fù)數(shù).設(shè)數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和為Tn
當(dāng)n≤6時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+12n;
當(dāng)n≥7時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a6-a7-…-an
=(a1+a2+…+a6)-(a7+…+an
=2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+…+an
=2S6-Sn=n2-12n+72.
所以數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和為Tn=
-n2+12n n≤6
n2-12n+72,n≥7
點(diǎn)評:本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求出,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=
3
2
Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3
(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,若Dn內(nèi)的整點(diǎn)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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