Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底而ABCD是菱形，且PA=AD=2，∠PAD=∠BAD=120°，E，F分別為PD，BD的中點(diǎn)，且．

（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；

（2）求銳二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先過P作PO⊥AD，再通過平幾知識(shí)計(jì)算得PO⊥BO，利用線面垂直判定定理得PO⊥平面ABCD，再根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)果，（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組解得平面ACE的一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

（1）過P作PO⊥AD，垂足為O，連結(jié)AO，BO，

由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，

∴在Rt△PAO中，PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×=，

∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO，∴△PAO≌△BAO，∴BO=PO=，

∵E，F分別是PA，BD的中點(diǎn)，EF=，∴EF是△PBD的中位線，

∴PB=2EF=2×=，

∴PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO，∵AD∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD，

又PO平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．

（2）以O為原點(diǎn)，OB為x軸，OD為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），

∴E（0，），F（，），=（0，），=（，，0），

易得平面ABCD的一個(gè)法向量=（0，0，1），

設(shè)平面ACE的法向量=（x，y，z），則，

取x=1，得=（1，-，1），

設(shè)銳二面角的平面角的大小為θ，則cosθ=|cos＜＞|==，

∴銳二面角E-AC-D的余弦值為．