Question

如圖直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz．
（1）求的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）；
（2）設(shè)=（1，p，q），滿足⊥平面SBC，求：
①的坐標(biāo)；
②OA與平面SBC的夾角β（用反三角函數(shù)表示）；
③O到平面SBC的距離．
（3）設(shè)
①的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
②異面直線SC、OB的距離為_(kāi)_____

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)已知中，∠COA=∠OAB=，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，我們求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量坐標(biāo)，代入向量夾角公式，即可得到結(jié)論．
（II）①由已知中得向量=（1，p，q）為平面SBC的法向量，根據(jù)法向量根平面內(nèi)任一個(gè)向量均垂直，數(shù)量積均為0，構(gòu)造方程組，即可求出的坐標(biāo)；②A與平面SBC的夾角β與OA的方向向量與的夾角互余，求出OA的方向向量，代入即可得到結(jié)論；
（III）①根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于r，s的方程組，解方程組求出r，s，代入即可求出的坐標(biāo)；②由（I）中直線SC、OB的夾角，結(jié)合四面體S-OBC的體積，根據(jù)V=•d，（其中θ為兩條異面直線夾角，d為兩條異面直線的夾角），即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）如圖所示：
C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）
∴
∴（4分）
（Ⅱ）①∴，∴
，∴（7分）
②過(guò)O作OE⊥BC于E，則BC⊥面SOE，∴SOE⊥SAB又兩面交于SE，過(guò)O作OH⊥SE于H，則OH⊥SBC，延長(zhǎng)OA與CB交于F，則OF=2
連FH，則∠OFH為所求
，∴∴，
∴
∴
③由題設(shè)條件可得∠OBC是直角，可得出CB⊥面SOB，故CB⊥SB
又在直角三角形SOB內(nèi)，可求得SB=，在梯形OABC內(nèi)，可求得BC=，于是可得
又由題設(shè)條件得=
故由等體積法可得點(diǎn)O到面SBC的距離為=
（III）（1，-1，2）；（14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求直線間夾角、距離，其中熟練掌握兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為0，及向量夾角公式是解答本題的關(guān)鍵．