Question

【題目】三棱錐P﹣ABC，底面ABC為邊長為2 的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D為AP上一點，AD=2DP，O為底面三角形中心．

（1）求證DO∥面PBC；
（2）求證：BD⊥AC；
（3）設(shè)M為PC中點，求平面MBD和平面BDO所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AO交BC于點E，連接PE．

∵O為正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，

且E為BC中點．又AD=2DP，

∴DO∥PE，

∵DO平面PBC，PE平面PBC

∴DO∥面PBC．

（2）證明：∵PB=PC，且E為BC中點，∴PE⊥BC，

又平面PBC⊥平面ABC，

∴PE⊥平面ABC，

由（Ⅰ）知，DO∥PE，

∴DO⊥平面ABC，

∴DO⊥AC

連接BO，則AC⊥BO，又DO∩BO=O，

∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．

（3）解：由（1）（2）知，EA，EB，EP兩兩互相垂直，且E為BC中點，

所以分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

如圖，則A（3，0，0），B（0， ，0），P（0，0，1），

D（1，0， ），C（0，﹣ ，0），M（0，﹣ ， ），

∴ =（0，﹣ ， ）， =（﹣1， ，﹣ ），

設(shè)平面BDM的法向量為 =（x，y，z），則 ，

令y=1，則 =（﹣ ，1，3 ），

由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，

∴ =（﹣3，﹣ ，0）為平面DBO的法向量，

∴cos＜ ＞= = = ，

由圖可知，二面角M﹣BD﹣O的余弦值為 ．

【解析】（1）連接AO交BC于點E，連接PE，推導出DO∥PE，由此能證明DO∥面PBC．（2）推導出PE⊥BC，從而PE⊥平面ABC，進而DO⊥平面ABC，由此得DO⊥AC，再由AC⊥BO，能證明AC⊥BD．（3）分別以EA，EB，EP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M﹣BD﹣O的余弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點，以及對直線與平面平行的判定的理解，了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．