Question

如圖，設(shè)、分別是圓和橢圓的弦，且弦的端點(diǎn)在軸的異側(cè)，端點(diǎn)與、與的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號.

（Ⅰ）若弦所在直線斜率為，且弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的方程；
（Ⅱ）若弦過定點(diǎn)，試探究弦是否也必過某個定點(diǎn). 若有，請證明；若沒有，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）弦必過定點(diǎn).

試題分析：（Ⅰ）由題意得：直線的方程為
，，設(shè)
，將代入檢驗(yàn)符合題意，
故滿足題意的直線方程為：
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圓的方程為：分
設(shè)、、、，
∵點(diǎn)在圓上，    ∴，………①
∵點(diǎn)在橢圓上，  ∴，………②
聯(lián)立方程①②解得：，同理解得： 
∴、    ∵弦過定點(diǎn)，
∴且，即，
化簡得 
直線的方程為：，即，
由得直線的方程為：，
∴弦必過定點(diǎn).
解法二：由（Ⅰ）得：圓的方程為：
設(shè)、，
∵圓上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的倍可得到橢圓，
又端點(diǎn)與、與的橫坐標(biāo)分別相等，縱坐標(biāo)分別同號，
∴、 
由弦過定點(diǎn)，猜想弦過定點(diǎn). 
∵弦過定點(diǎn)，∴且，即……① ,,
由①得，
∴弦必過定點(diǎn).
點(diǎn)評：本題以直線、圓、橢圓為載體，綜合考查推理論證能力、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想．