Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=1，b₂S₂=16，b₃S₃=60．
求：（1）數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)于任意n∈N^*，都有$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$＜m，試求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≥0，數(shù)列{b_n}的公比為q；從而可得$\left\{\begin{array}{l}{q（6+d）=16}\\{{q}^{2}（9+3d）=60}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）由（1）知S_n=n（n+2），從而化簡(jiǎn)并利用裂項(xiàng)求和法求和即可．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≥0，數(shù)列{b_n}的公比為q；
則S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$d，b_n=q^n-1，
故$\left\{\begin{array}{l}{q（6+d）=16}\\{{q}^{2}（9+3d）=60}\end{array}\right.$，
解得，q=2，d=2；
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=2^n-1，
（2）由（1）知，S_n=n（n+2），
故$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
故$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$，
故m≥$\frac{3}{4}$，
故m的最小值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了方程思想與裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．