Question

8．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的左、右焦點(diǎn)，A₁，A₂分別為這個(gè)雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，求證：以A₁A₂為直徑的圓既與以PF₂為直徑的圓外切，又與以PF₁為直徑的圓內(nèi)切．

Answer 1

分析 分別求出以A₁A₂為直徑的圓、以PF₁為直徑的圓和以PF₂為直徑的圓的圓心和半徑，運(yùn)用中位線定理和雙曲線的定義，結(jié)合兩圓相切的條件即可得證．

解答 證明：以A₁A₂為直徑的圓為圓心為原點(diǎn)O，半徑為a的圓；
以PF₂為直徑的圓的圓心設(shè)為M，半徑為$\frac{1}{2}$PF₂的圓；
以PF₁為直徑的圓的圓心設(shè)為N，半徑為$\frac{1}{2}$PF₁的圓；
由雙曲線的定義可得PF₁-PF₂=2a，
即有$\frac{1}{2}$PF₁-$\frac{1}{2}$PF₂=a，
由OM為△PF₁F₂的中位線，可得OM=$\frac{1}{2}$PF₁，
即為OM=a+$\frac{1}{2}$PF₂，可得以A₁A₂為直徑的圓既與以PF₂為直徑的圓外切；
由ON為△PF₁F₂的中位線，可得ON=$\frac{1}{2}$PF₂，
即為ON=$\frac{1}{2}$PF₁-a，可得以A₁A₂為直徑的圓既與以PF₁為直徑的圓內(nèi)切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩圓相切的證明，注意運(yùn)用三角形的中位線定理和雙曲線的定義，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．