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8.設F1,F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2y22=1的左、右焦點,A1,A2分別為這個雙曲線的左、右頂點,P為雙曲線右支上的任意一點,求證:以A1A2為直徑的圓既與以PF2為直徑的圓外切,又與以PF1為直徑的圓內(nèi)切.

分析 分別求出以A1A2為直徑的圓、以PF1為直徑的圓和以PF2為直徑的圓的圓心和半徑,運用中位線定理和雙曲線的定義,結合兩圓相切的條件即可得證.

解答 證明:以A1A2為直徑的圓為圓心為原點O,半徑為a的圓;
以PF2為直徑的圓的圓心設為M,半徑為12PF2的圓;
以PF1為直徑的圓的圓心設為N,半徑為12PF1的圓;
由雙曲線的定義可得PF1-PF2=2a,
即有12PF1-12PF2=a,
由OM為△PF1F2的中位線,可得OM=12PF1,
即為OM=a+12PF2,可得以A1A2為直徑的圓既與以PF2為直徑的圓外切;
由ON為△PF1F2的中位線,可得ON=12PF2,
即為ON=12PF1-a,可得以A1A2為直徑的圓既與以PF1為直徑的圓內(nèi)切.

點評 本題考查兩圓相切的證明,注意運用三角形的中位線定理和雙曲線的定義,考查推理能力,屬于基礎題.

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