Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-2x．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a＜2-ln4且x＞0時(shí)，試比較f（x）與x²+（a-2）x+1的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的極值即可；
（2）令g（x）=f（x）-x²-（a-2）x-1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而判斷大小即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-2，
令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，
令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故f（x）在（-∞，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，
故當(dāng)x=ln2時(shí)f（x）有極小值f（ln2）=2-2ln2，無(wú)極大值．
（2）令g（x）=f（x）-x²-（a-2）x-1=e^x-x²-ax-1，
g′（x）=e^x-2x-a=f（x）-a，
∴g′（x）_min=f（x）_min-a=2-2ln2-a，
∵a＜2-ln4∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
即f（x）＞x²+（a-2）x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．