Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）猜測(cè)a_n與n+2的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a₁=3，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，可求得a₂，a₃的值；
（Ⅱ）由a₁、a₂，a₃的值可猜想a_n≥n+2，再結(jié)合已知a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-na_n+1，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）a₂=9-3+1=7，a₃=49-14+1=36，…（2分）
（Ⅱ）猜想a_n≥n+2，…（3分）
證明：①n=1時(shí)，3=1+2成立，…（4分）
②假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，a_k≥k+2，…（5分）
n=k+1時(shí)，a_k+1=${{a}_{k}}^{2}$-ka_k+1=a_k（a_k-k）+1，…（6分）
∵a_k≥k+2＞0，
∴a_k-k≥2，
∴a_k（a_k-k）≥2（k+2），…（9分）       
∴a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥2（k+2）+1=（k+1）+2+k+1＞k+1+2，…（11分）
∴n=k+1時(shí)結(jié)論成立
綜上：由①②知：a_n≥n+2…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，突出考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理與證明能力，屬于中檔題．