Question

4．已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量$\overrightarrow{e_1}$=$[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}]$，并且矩陣M將點(diǎn)（-1，3）變換為（0，8）．
（1）求矩陣M；
（2）求曲線x+3y-2=0在M的作用下的新曲線方程．

Answer 1

分析 （1）利用特征值、特征向量的定義，建立方程，即可得出結(jié)論；
（2）求出變換前后坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)$M=[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}]$，由$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]=8[{\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}}]$及$[{\begin{array}{l}a&b\\ c&d\end{array}}][{\begin{array}{l}{-1}\\ 3\end{array}}]=[{\begin{array}{l}0\\ 8\end{array}}]$，
得$\left\{\begin{array}{l}a+b=8\\ c+d=8\\-a+3b=0\\-c+3d=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=6\\ b=2\\ c=4\\ d=4\end{array}\right.$，∴$M=[{\begin{array}{l}6&2\\ 4&4\end{array}}]$…（4分）
（2）設(shè)原曲線上任一點(diǎn)P（x，y）在M作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'（x'，y'），
則$[\begin{array}{l}x'\\ y'\end{array}]=[{\begin{array}{l}6&2\\ 4&4\end{array}}][\begin{array}{l}x\\ y\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}x'=6x+2y\\ y'=4x+4y\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2x'-y'}{8}\\ y=\frac{-2x'+3y'}{8}\end{array}\right.$，
代入x+3y-2=0得x'-2y'+4=0，
即曲線x+3y-2=0在M的作用下的新曲線方程為x-2y+4=0…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查特征值、特征向量的定義，考查矩陣變換，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．