求證:任何一個實系數(shù)一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3∈R,a0≠0)至少有一個實數(shù)根.

證明略


解析:

設f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)連續(xù)，

且x→+∞時，f(x)→+∞;x→－∞時，f(x)→－∞,

所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0,

所以f(x)的圖像至少在(a,b)上穿過x軸一次，即f(x)=0至少有一實根.

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