Question

已知函數(shù)f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)
（2）求證：f（x）在R上總為增函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，容易求出a的值．
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號容易證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（3）根據(jù)（1）得到：f(x)=

1

2

-

1

2x+1

，根據(jù)2^x的范圍：2^x＞0，可得2x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，從而求得

1

2

-

1

2x+1

的范圍，即求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即a-

1

2-x+1

=-a+

1

2x+1

；
解得：a=

1

2

．
（2）f′（x）=

2xln2

(2x+1)2

＞0；
∴函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）由（1）知f(x)=

1

2

-

1

2x+1

；
∵2^x+1＞1，∴0＜

1

2x+1

＜1，-1＜-

1

2x+1

＜0，∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；
故函數(shù)f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．

點評：考查奇函數(shù)的概念，函數(shù)導數(shù)符號和函數(shù)單調性的關系，注意第三問求值域的方法：由2^x的范圍，根據(jù)不等式的運算得出的．