Question

設(shè)

a

=(x，1)，

b

=(2，-1)，

c

=(x-m，m-1)（x∈R，m∈R）．
（Ⅰ）若

a

與

b

的夾角為鈍角，求x的取值范圍；
（Ⅱ）解關(guān)于x的不等式|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中向量

a

與

b

的坐標(biāo)及

a

與

b

的夾角為鈍角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可得

a

•

b

＜0，由此可構(gòu)造不等式，但要注意對向量反向情況的排除；
（2）根據(jù)|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|利用平方法可得

a

•

c

＜0，由此構(gòu)造不等式，對m分類討論后，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（1）∵

a

=(x，1)，

b

=(2，-1)，
若

a

與

b

的夾角為鈍角，
則

a

•

b

=2x-1＜0，
解得x＜

1

2

；
又當(dāng)x=-2時，

a

與

b

的夾角為π，
所以當(dāng)

a

與

b

的夾角為鈍角時，
x的取值范圍為(-∞，-2)∪(-2，

1

2

)．…（6分）
（2）由|

a

+

c

|＜|

a

-

c

|知，

a

•

c

＜0，
又∵

c

=(x-m，m-1)
∴（x-1）[x-（m-1）]＜0；…（8分）
當(dāng)m＜2時，解集為{x|m-1＜x＜1}；…（10分）
當(dāng)m=2時，解集為空集；…（12分）
當(dāng)m＞2時，解集為{x|1＜x＜m-1}．…（14分）

點評：本題考查的知識點是數(shù)量積，一元二次不等式的解法，其中（1）中易忽略當(dāng)x=-2時，

a

與

b

的夾角為π，而錯解為(-∞，

1

2

)