Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，分別為，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于，連接，，則為的中點(diǎn)，可得，結(jié)合，得到四邊形為平行四邊形，則，再由線面平行的判定定理，可得平面；

（2）由平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，利用線面垂直的判定和性質(zhì)求得，從而可求出和，利用等積法得，化簡(jiǎn)計(jì)算可求得點(diǎn)到平面的距離，從而得出點(diǎn)到平面的距離，即可得出結(jié)果．

解：（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，，

則為的中點(diǎn)，

又∵為的中點(diǎn)，

∴，且.

又∵為的中點(diǎn)，

∴，且，

∴且，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面.

（2）解：∵平面，

∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，

∵三棱柱為直三棱柱，

則平面，平面，

，

又，，

則，

，且，

∴平面，即平面，

∵平面，∴，

∵，，

∴，，

連接和，則，

∵，

而到底面的距離等于到底面的距離為，

設(shè)到平面的距離為，

而為的中點(diǎn)，則到平面的距離為，

∴，∴，

∴點(diǎn)到平面的距離為，

即點(diǎn)到平面的距離為.