Question

13．市場上有一種新型的強(qiáng)力洗衣粉，特點(diǎn)是去污速度快，已知每投放a（1≤a≤4且a∈R）個(gè)單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y=af（x），其中f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{16}{8-x}-1，0≤x≤4\\ 5-\frac{1}{2}x，4＜x≤10\end{array}$，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起有效去污的作用．
（1）若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可能達(dá)幾分鐘？
（2）若先投放2個(gè)單位的洗衣液，6分鐘后投放a個(gè)單位的洗衣液，要使接下來的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$取1.4）

Answer 1

分析 （1）由題意知有效去污滿足y≥4，則$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 4（\frac{16}{8-x}-1）≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4＜x≤10\\ 4（5-\frac{1}{2}x）≥4\end{array}\right.$，解得答案；
（2）${y_1}=2（5-\frac{1}{2}{x_1}）$，（6≤x₁≤10），${y_2}=a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）$，（0≤x₂≤4）分別求出最值，比較后可得答案．

解答 解：（1）由題意知有效去污滿足y≥4，
則$\left\{\begin{array}{l}0≤x≤4\\ 4（\frac{16}{8-x}-1）≥4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}4＜x≤10\\ 4（5-\frac{1}{2}x）≥4\end{array}\right.$
得0≤x≤8，所以有效去污時(shí)間可能達(dá)8分鐘．
（2）${y_1}=2（5-\frac{1}{2}{x_1}）$，（6≤x₁≤10），${y_2}=a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）$，（0≤x₂≤4）
令x₁=6+x₂，x₂∈[0，4]，${y_1}+{y_2}=2（2-\frac{x_2}{2}）+a（\frac{16}{{8-{x_2}}}-1）≥4$，（0≤x₂≤4）
∴$a≥{x_2}•\frac{{8-{x_2}}}{{8+{x_2}}}$，若令t=8+x₂，t∈[8，12]，$a≥-（t+\frac{128}{t}）+24$，
又$-（t+\frac{128}{t}）+24≤24-16\sqrt{2}≈1.6$，
所以a的最小值為1.6．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，難度中檔．