Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（x2﹣x﹣1）ex ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）內(nèi)有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f′（x）=（x2+x﹣2）ex=（x﹣1）（x+2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）遞增，在（﹣2，1）遞減，在（1，+∞）遞增；

（2）方程a（ +1）+ex=ex可化為ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，

令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，則g（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，易知g（0）=1，g（1）=0，

g′（x）=ex﹣2ax+a﹣e，設(shè)g′（x）=h（x），則h′（x）=ex﹣2a，

①a＜0時，h′（x）＞0，即h（x）在區(qū)間（0，1）遞增，h（0）=1+a﹣e＜0，

h（1）=﹣a＞0，即h（x）在區(qū)間（0，1）只有1個零點(diǎn)x1，

故g（x）在（0，x1）遞減，在（x1，1）遞增，

而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；

②當(dāng)0≤a≤ 時，h′（x）＞0，即h（x）在區(qū)間（0，1）遞增，

h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）遞減，得g（x）在（0，1）無零點(diǎn)；

③當(dāng) ＜a＜ 時，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），

∴h（x）在區(qū)間（0，ln（2a））上遞減，在（ln（2a），1）遞增，

h（x）在區(qū)間（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），

故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣ ＜0，

故 ＜a＜ 時，x∈（0，1），都有g(shù)′（x）＜0，g（x）在（0，1）遞減，

又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）內(nèi)無零點(diǎn)；

④a≥ 時，h′（x）＜0，h（x）在區(qū)間（0，1）遞減，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，

若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞ ，

則h（x）在區(qū)間（0，1）只有1個零點(diǎn)x2，

故g（x）在（0，x2）遞增，在（x2，1）遞減，

而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）無零點(diǎn)，

若 ＜a時，則h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）遞減，得g（x）在（0，1）內(nèi)無零點(diǎn)，

綜上，a＜0時，方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）內(nèi)有解．

【解析】（1）對f（x）求導(dǎo)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，（2）問題可化為ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，則g（x）在（0,1）內(nèi)由零點(diǎn)，討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．