Question

已知向量=（2cos²x，sinx），=（1，2cosx）．
（1）若⊥且0＜x＜π，試求x的值；
（2）設(shè)f（x）=•，試求f（x）的對稱軸方程，對稱中心，單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

解：（1）∵⊥，
∴•=0，又=（2cos²x，sinx），=（1，2cosx），
∴2cos²x+2sinxcosx=0，
∴cos2x+sin2x+1=0，即sin（2x+）=-1，
∴sin（2x+）=-．
∵0＜x＜π，
∴2x+∈，
∴，
∴．
（2）由題意得．
令2x+=kπ+可得x=+，
∴f（x）的對稱軸方程為：x=+；
令2x+=kπ可得x=-，
∴f（x）的對稱軸中心為：（-，1）；
令可得，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為．
分析：（1）由題意，利用向量的坐標(biāo)運算公式可求得sin（2x+）=-，再結(jié)合0＜x＜π，即可求x的值；
（2）利用f（x）=sin（2x+）+1即可求f（x）的對稱軸方程，對稱中心，單調(diào)遞增區(qū)間．
點評：本題考查數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，考查正弦函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，得到f（x）=sin（2x+）+1是求f（x）的對稱軸方程，對稱中心，單調(diào)遞增區(qū)間的關(guān)鍵，屬于中檔題．