Question

14、等比數(shù)列{a_n}前n項的積為T_n，若a₃•a₆•a₁₂是一個確定的常數(shù)，那么T₁₀、T₁₃、T₁₅、T₁₇中也是常數(shù)的是

T₁₃

．

Answer 1

分析：利用等比數(shù)列的通項公式化簡a₃•a₆•a₁₂后，利用同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方的運算法則化簡可得數(shù)列第七項的值，然后根據(jù)等比數(shù)列{a_n}前n項的積為T_n，列舉出T₁₃的各項，把13項的項數(shù)之和為14的結合在一起成6對與第七項相乘的形式，利用等比數(shù)列的性質得到每一對都等式第七項的平方，即可得到T₁₃為常數(shù)．

解答：解：由a₃•a₆•a₁₂=a₁q²•a₁q⁵•a₁q¹¹=（a₁q⁶）³=a₇³為常數(shù)，所以a₇為常數(shù)，
則T₁₃=a₁•a₂…a₁₃=（a₁•a₁₃）（a₂•a₁₂）（a₃•a₁₁）（a₄•a₁₀）（a₅a₉）（a₆•a₈）•a₇
=a₇²•a₇²•a₇²•a₇²•a₇²•a₇²•a₇=a₇¹³為常數(shù)．
故答案為：T₁₃

點評：此題考查學生靈活運用等比數(shù)列的通項公式化簡求值，要去學生掌握等比數(shù)列的性質，是一道中檔題．