Question

8．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$Γ：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點(diǎn)，橢圓Γ的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，P（x₀，y₀）是Γ上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且△PF₁F₂的面積的最大值為1．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）直線l是橢圓在點(diǎn)P處的切線，過(guò)F₂作PF₂的垂線，交直線l相交于Q，求證：點(diǎn)Q落在一條定直線m上，并求直線m的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)判斷PF₁F₂的面積最大時(shí)的位置列出方程組，即可求出ab，得到橢圓的方程．
（Ⅱ）利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性，判斷點(diǎn)Q所在的定直線與x軸垂直，猜想直線m：x=2．設(shè)直線l：y-y₀=k（x-x₀）與橢圓聯(lián)立，消去y，利用相切，△=0，求出k，得到直線l：$y=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（x-{x_0}）+{y_0}$，直線$Q{F_2}：\frac{y}{x-1}=-\frac{{{x_0}-1}}{y_0}$，消去y，利用分析法證明即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意可知當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積最大，
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}×2c×b=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$，
所以橢圓$Γ：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$----------------（4分）
（Ⅱ）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)Q所在的定直線與x軸垂直
令P為短軸端點(diǎn)，則PQ：y=1，直線QF₂：y=x-1，此時(shí)Q（2，0），猜想直線m：x=2---（6分）
設(shè)直線l：y-y₀=k（x-x₀）與橢圓$Γ：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$聯(lián)立得：${x^2}+2{[kx+（{y_0}-k{x_0}）]^2}=2$$（1+2{k^2}）{x^2}+4k（{y_0}-k{x_0}）x+2{（{y_0}-k{x_0}）^2}-2=0$$△=16{k^2}{（{y_0}-k{x_0}）^2}-4（1+2{k^2}）（2{（{y_0}-k{x_0}）^2}-2）=0$$△=-4（2{（{y_0}-k{x_0}）^2}-2-4{k^2}）=0$，即${（{y_0}-k{x_0}）^2}-1-2{k^2}=0$，$（{x_0}^2-2）{k^2}-2{x_0}{y_0}•k+{y_0}^2-1=0$，$-2{y_0}^2{k^2}-2{x_0}{y_0}•k-\frac{{{x_0}^2}}{2}=0$，解得${y_0}^2{k^2}+{x_0}{y_0}•k+\frac{{{x_0}^2}}{4}=0$，所以${（{y_0}k+\frac{x_0}{2}）^2}=0$，
所以$k=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}$，所以直線l：$y=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（x-{x_0}）+{y_0}$------------------------（10分）
直線$Q{F_2}：\frac{y}{x-1}=-\frac{{{x_0}-1}}{y_0}$
消去y得：$\frac{{-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（x-{x_0}）+{y_0}}}{x-1}=-\frac{{{x_0}-1}}{y_0}$，
要證：x=2，只需證：$Q{F_2}：\frac{{-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（2-{x_0}）+{y_0}}}{2-1}=-\frac{{{x_0}-1}}{y_0}$成立-------（12分）
即證：$-\frac{x_0}{{2{y_0}}}（2-{x_0}）+{y_0}=-\frac{{{x_0}-1}}{y_0}$
即證：$-{x_0}（2-{x_0}）+2{y_0}^2=-2（{x_0}-1）$
即證：${x_0}^2+2{y_0}^2=2$顯然成立
所以原命題得證．---------------------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查歸納推理以及分析法的綜合應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，難度比較大．