Question

已知函數(shù)，，且函數(shù)在點處的切線方程為.
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）設點，當時，直線的斜率恒小于，試求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）證明：.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在點處的切線方程為，這一條件分離出兩個條件，然后根據(jù)這兩個條件列有關和的二元一次方程組，解出和的值進而確定函數(shù)的解析式；（Ⅱ）先將直線的斜率利用點的坐標表示，然后建立以為自變量的函數(shù)，對參數(shù)進行分類討論，即可求出參數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明不等式，構造函數(shù)
，等價轉化為，借助極小值，但同時需要注意有些時候相應整體的代換.
試題解析：（Ⅰ），.   1分
函數(shù)在點處的切線方程為，
  即， 解得，   2分
.     3分
（Ⅱ）由、，得，
∴“當時，直線的斜率恒小于”當時，恒成立對恒成立.   4分
令，.
則，   5分
（�。┊�時，由，知恒成立，
∴在單調遞增，
∴，不滿足題意的要求.   6分
（ⅱ）當時，，，
，
∴當 ，；當，.
即在單調遞增；在單調遞減.
所以存在使得，不滿足題意要求.   7分
（ⅲ）當時，，對于，恒成立，
∴在單調遞減，恒有，滿足題意要求. 8分
綜上所述：當時，直線的斜率恒小于.   9分
（Ⅲ）證明：令，
則， 10分
，
函數(shù)在遞增，在上的零點最多一個.11分
又，，
存在唯一的使得，   12分
且當時，；當時，.
即當時，；當時，.
在遞減，在遞增，
從而.    13分
由得且，，
，從而證得.     14分