Question

已知點A（-1，0），B（2，0），動點M滿足2∠MAB=∠MBA，求點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：如何體現(xiàn)動點M滿足的條件2∠MAB=∠MBA是解決本題的關鍵．用動點M的坐標體現(xiàn)2∠MAB=∠MBA的最佳載體是直線MA、MB的斜率．
解答：解：設M（x，y），∠MAB=α，則∠MBA=2α，它們是直線MA、MB的傾角還是傾角的補角，
與點M在x軸的上方還是下方有關；以下討論：
①若點M在x軸的上方，α∈（0，90），y＞0，
此時，直線MA的傾角為α，MB的傾角為π-2α，
∴tanα=k_MA=，（2α≠90）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-，
得：x²-=1，∵|MA|＞|MB|，∴x＞1．
當2α=90°時，α=45°，△MAB為等腰直角三角形，此時點M的坐標為（2，3），它滿足上述方程．
②當點M在x軸的下方時，y＜0，同理可得點M的軌跡方程為x²-=1（x≥1），
③當點M在線段AB上時，也滿足2∠MAB=∠MBA，此時y=0（-1＜x＜2）．
綜上所求點的軌跡方程為x²-=1（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．
點評：求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法，本題主要用直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．