Question

（Ⅰ）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于一個(gè)常數(shù)．
sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°，sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°，sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°，sin²（-18°）+cos²48°-sin（-18°）cos48°，sin²（-25°）+cos²55°-sin（-25°）cos55°．
（1）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)．
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．
（Ⅱ）求函數(shù)y=2+2sinxcosx+sinx+cosx，x∈[-

π

2

，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）（1）利用三角恒等變換化簡 sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°，可得結(jié)果．
（2）將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式為：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，再利用三角恒等變換進(jìn)行證明．
（Ⅱ）設(shè)t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），由 x∈[-

π

2

，

π

2

]，可得x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得它的最值．

解答： 解：（Ⅰ）（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°=

1-cos26°

2

+

1+cos34°

2

-sin13°cos17°=1+

1

2

（cos34°-cos26°）-sin13°cos17°
=1+

1

2

（-2）sin30°sin4°-

1

2

（sin30°-sin4°）=

3

4

．
（2）將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式為：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

，
證明：∵sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

1-cos2α

2

+

1+cos(60°-2α)

2

-sinαcos（30°-α）
=1+

1

2

[cos（60°-2α）-cos2α]-sinαcos（30°-α）=1+

1

2

（-2）sin30°sin（30°-2α）-

1

2

[sin30°-sin（30°-2α）]=

3

4

，
∴sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=

3

4

 成立．
（Ⅱ）設(shè)t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
所以當(dāng) x+

π

4

=-

π

4

 時(shí)，t_min=

2

sin（-

π

4

）=-1，
所以當(dāng)x+

π

4

=

π

2

 時(shí)，t_max=

2

sin

π

2

=

2

，又因?yàn)?sinxcosx=（sinx+cosx）²-1=t²-1，
所以 y=t²+t-1=(t+

1

2

)2-

5

4

，-1≤t≤

2

，
所以當(dāng)t=-

1

2

時(shí)，y_min=-

3

4

；當(dāng)t=

2

時(shí)，y_max=1+

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．