Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．求：
（Ⅰ）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列{an•2an}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，根據(jù)a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列建立關于d的方程，解之即可得到d=1（舍去0），由此代入等差數(shù)列的通項公式，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）由（I）可得an•2an=n×2ⁿ，利用錯位相減法結(jié)合等比數(shù)列求和公式，即可得到數(shù)列{an•2an}的前n項和S_n的值．

解答：解：（I）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意知d為非零常數(shù)
∵a₁=1，a₁、a₃、a₉成等比數(shù)列
∴a₃²=a₁×a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），解之得d=1（舍去0）
因此，數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1+（n-1）×1=n；
（II）由（I）得an•2an=n×2ⁿ
∴S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ…①
兩邊都乘以2，得2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹…②
①-②可得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹（1-n）-2
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題給出等差數(shù)列{a_n}的第1、3、9項成等比數(shù)列，求它的通項公式并求數(shù)列{an•2an}的前n項和．著重考查了等差數(shù)列的通項公式、錯位相減法求和和等比數(shù)列求和公式等知識點，屬于中檔題．