Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），且圓C′：x²+y²=1過橢圓C的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
（2）已知直線l與橢圓C只有1個(gè)交點(diǎn)，探究：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)P（x₁，0）、Q（x₂，0），且x₁＜x₂，使得P、Q到直線l的距離之積為1．如果存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=c=1，a=$\sqrt{2}$，進(jìn)而得到C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
（2）分類討論，利用直線l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，確定k，p的關(guān)系，設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，建立方程，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2））①當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y=kx+p，
代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因?yàn)橹本�l與橢圓C有只有一個(gè)公共點(diǎn)，
所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．
設(shè)在x軸上存在兩點(diǎn)（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，
則$\frac{|ks+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\frac{|kt+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{st+1=0}\\{s+t=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{s=-1}\\{t=1}\end{array}\right.$，
而（**）不恒成立．
②當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為x=±$\sqrt{2}$時(shí)，
定點(diǎn)（-1，0）、F₂（1，0）到直線l的距離之積d₁?d₂=（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$+1）=1．
綜上，存在兩個(gè)定點(diǎn)（1，0），（-1，0），使其到直線l 的距離之積為定值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查存在性問題的研究，考查學(xué)生的計(jì)算能力，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．