Question

【題目】已知橢圓: 上的任一點到焦點的距離最大值為3，離心率為 ，

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若為曲線上兩點， 為坐標原點，直線 的斜率分別為，且，求直線被圓截得弦長的最大值及此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）橢圓上的任一點到焦點的距離最大值為，結合離心率的值即可得方程；

（2）設， ，直線與圓： 的交點為，①當直線軸時， ，易得，②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得得， ，結合韋達定理可解得， 即可得最值.

試題解析：

（1）橢圓上的任一點到焦點的距離最大值為,又離心率為,

解得： ，進而得.

橢圓的方程為：

（2）設， ，直線與圓： 的交點為．

①當直線軸時， ，

由得或

此時可求得．

②當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，

聯(lián)立消得，

，

， ，

所以 ，

由得， ，

此時．

圓： 的圓心到直線的距離為，

所以，

得，

所以當時， 最大，最大值為，

綜合①②知，直線被圓： 截得弦長的最大值為，

此時，直線的方程為

點睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．