設x＞0,求證：sinx+cosx＞1+x-x2.

分析：構造函數(shù)f(x)=sinx+cosx-1-x+x2然后證明f′(x)＞0.引進g(x)=f′(x),通過判斷g(x)的符號，可順利解決問題.

證明：設f(x)=sinx+cosx-1-x+x2,

則f′(x)=cosx-sinx-1+2x.

只要證f′(x)＞0,

設g(x)=cosx-sinx-1+2x.

g′(x)=-sinx-cosx+2

=(1-sinx)+(1-cosx).

∵sinx=1時cosx=0;cosx=1時sinx=0，

∴1-sinx與1-cosx不能同時為0.

∴g′(x)＞0.

∴g(x)當x＞0時是增函數(shù).

又g(x)在R上是連續(xù)函數(shù)且g(0)=0.

∴g(x)＞g(0)=0即f′(x)＞0,

∴f(x)在（0，+∞)上是增函數(shù).

且f(0)=0，

∴x＞0時sinx+cosx＞1+x-x2.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x∈（0，
π
2
），則下列所有正確結論的序號為
②⑥
②⑥
．
①sinx＜
2
π
x；②sinx＞
2
π
x；③sinx＜
3
π
x；④sinx＞
3
π
x；⑤sinx＜
4
π2
x2； ⑥sinx＞
4
π2
x2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在(0，+∞)內的函數(shù)f(x),對任意的x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),當且僅當x＞1時f(x)＞0成立.

(1)設x,y∈(0,+∞),求證：f()=f(y)-f(x);

(2)設x1,x2∈(0,+∞),f(x1)＞f(x2),試比較x1,x2的大小；

(3)解不等式f()＞f(ax-3)(0＜a＜1).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x＞0,求證:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.

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設x＞0，求證：sinx+cosx＞1+x－x2.

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