設(shè)x∈（0，
π
2
），則下列所有正確結(jié)論的序號為
②⑥
②⑥
．
①sinx＜
2
π
x；②sinx＞
2
π
x；③sinx＜
3
π
x；④sinx＞
3
π
x；⑤sinx＜
4
π2
x2； ⑥sinx＞
4
π2
x2．
分析：根據(jù)選項(xiàng)①②③④的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=
sinx
x
，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)論，根據(jù)選項(xiàng)⑤⑥的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=
sinx
x2
，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到結(jié)論．
解答：解：令f（x）=
sinx
x
，則f′（x）=
xcosx-sinx
x2
，
令g（x）=xcosx-sinx，則g′（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，
∵x∈（0，
π
2
），
∴g′（x）＜0，則g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在（0，
π
2
）上單調(diào)遞減，
∴f（x）＞f（
π
2
）=
π
2
，即
sinx
x
＞
π
2
，sinx＞
2
π
x，故①正確；
當(dāng)x∈（0，
π
3
]時，f（x）≥f（
π
3
）=
3
π
，即sinx≥
3
π
x，
當(dāng)x∈（
π
3
，
π
2
）時，f（x）＜f（
π
3
）=
3
π
，即sinx＜
3
π
x，
故③④都不正確；
令h（x）=
sinx
x2
，則h′（x）=
x(xcosx-2sinx)
x4
，
令m（x）=xcosx-2sinx，則m′（x）=cosx-xsinx-2cosx=-xsinx-cosx，
∵x∈（0，
π
2
），
∴m′（x）＜0，則m（x）＜m（0）=0，
∴h′（x）＜0，即函數(shù)h（x）在（0，
π
2
）上單調(diào)遞減，
∴h（x）＞h（
π
2
）=
4
π2
，即
sinx
x2
＞
4
π2
，sinx＞
4
π2
x2，故⑥正確；
故答案為：②⑥．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，以及構(gòu)造函數(shù)的方法，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

規(guī)定Cmx=
x(x-1)…(x-m+1)
m！
，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C0x=1，這是組合數(shù)Cmn（n、m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
（1）求C3-15的值；
（2）設(shè)x＞0，當(dāng)x為何值時，
C
3
x
(C
1
x
)2
取得最小值？
（3）組合數(shù)的兩個性質(zhì)；
①Cmn=Cn-mm． ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．
是否都能推廣到Cmx（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由．
變式：規(guī)定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m為正整數(shù)，且Ax0=1，這是排列數(shù)Anm（n，m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
（1）求A-153的值；
（2）排列數(shù)的兩個性質(zhì)：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整數(shù)）是否都能推廣到Axm（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
（3）確定函數(shù)Ax3的單調(diào)區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x＞0，則函數(shù)y=2-
4x
-x的最大值為
-2
-2
；此時x的值是
2
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
1+x2
，x∈(0，1)．
（1）設(shè)x1，x2∈（0，1），證明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）設(shè)x∈（0，1），證明：
3x2-x
1+x2
≥
9
10
(x-
1
3
)；
（3）設(shè)x1，x2，x3都是正數(shù)，且x1+x2+x3=1，求u=
3
x
2
1
-x1
1+
x
2
1
+
3
x
2
2
-x2
1+
x
2
2
+
3
x
2
3
-x3
1+
x
2
3
的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x∈（0，
π
2
），則函數(shù)（sin2x+
1
sin2x
）（cos2x+
1
cos2x
）的最小值是
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案