Question

下列四個命題：

a

，

b

，

c

為平面向量
（1）若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

=

c

．
（2）若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，則k=-3．
（3）非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為60°．
（4）已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的圖象如圖所示，f（

π

2

）=-

2

3

，則f（0）=

2

3

其中真命題的序號為

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，可判斷（1），根據(jù)向量平行的定義，求出k值，可判斷（2），根據(jù)向量夾角的定義和幾何特征，求出

a

與

a

+

b

的夾角，可判斷（3），根據(jù)函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）的圖象，求出f（0）的值，可判斷（4）．

解答： 解：若

a

•

b

=

a

•

c

，則

b

•cos＜

a

，

b

＞=

c

•cos＜

a

，

c

＞，但

b

=

c

不一定成立，故（1）錯誤；
若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，則6+2k=0，解得k=-3，故（2）正確．
非零向量

a

和

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為30°，故（3）錯誤；
由圖可得函數(shù)f（x）的周期為

2π

3

，則ω=3，f（x）=Acos（3x+φ），由f（

π

2

）=-

2

3

，可得Asinφ=-

2

3

，f（

7π

12

）=0，
可得Acosφ+Asinφ=0，故f（0）=Acosφ=

2

3

，故（4）正確；
故答案為：（2），（4）

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了向量的數(shù)量積，向量平行與夾角，余弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識點，綜合性強，難度中檔．