Question

17．已知橢圓3x²+y²=12，過原點且傾斜角分別為θ和π-θ（0＜θ≤$\frac{π}{4}$）的兩條直線分別交橢圓于點A，C和點B，D，則四邊形ABCD的面積的最大值等于12，此時θ=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 設出直線過原點且傾斜角為θ的直線的方程和橢圓方程聯(lián)立即可表示出矩形ABCD的面積；運用函數(shù)的單調性，求得函數(shù)f（t）的最小值，即可得到所求面積的最大值．

解答 解：設經(jīng)過原點且傾斜角為θ的直線方程為y=xtanθ，
代入3x²+y²=12，
求得x²=$\frac{12}{3+ta{n}^{2}θ}$，y²=$\frac{12ta{n}^{2}θ}{3+ta{n}^{2}θ}$，
由對稱性可知四邊形ABCD為矩形，
又由于0＜θ≤$\frac{π}{4}$，
所以四邊形ABCD的面積S=4|x||y|=$\frac{48tanθ}{3+ta{n}^{2}θ}$，
當0＜θ≤$\frac{π}{4}$時，0＜tanθ≤1，
設t=tanθ，則S=$\frac{48t}{3+{t}^{2}}$=$\frac{48}{t+\frac{3}{t}}$，（0＜t≤1），
設f（t）=$\frac{3}{t}$+t，
f′（t）=1-$\frac{3}{{t}^{2}}$，
當0＜t≤1時，f′（t）＜0，f（t）遞減，
因為f（t）在t=1時，取最小值，
所以f（t）_min=f（1）=4，
所以當tanθ=1，即θ=$\frac{π}{4}$時，
S_max=12．
故答案為：12，$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查直線和橢圓的相關知識，三角函數(shù)的最值問題，考查換元法的思想，以及運算能力，屬于中檔題．