Question

已知兩個正數(shù)a，b，可按規(guī)律c=ab+a+b推廣為一個新數(shù)c，在a，b，c三個數(shù)種取連個較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴充到一個新數(shù)，依次下去，將每擴充一次得到一個新數(shù)稱為一次操作．
（1）正數(shù)1，2經(jīng)過兩次擴充后所得的數(shù)為

 

（2）若p＞q＞0，經(jīng)過五次操作后擴充得到的數(shù)為（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n為正整數(shù)），則m+n=

 

．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理,歸納推理

專題：計算題,推理和證明

分析：（1）a=1，b=2，按規(guī)則操作二次，第一次：c=5；第二次c=17；
（2）p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；第二次得：c₂=（p+1）²（q+1）-1；所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，故經(jīng)過5次擴充，所得數(shù)為：（q+1）⁸（p+1）⁵-1，故可得結(jié)論．

解答： 解：（1）a=1，b=2，按規(guī)則操作三次，
第一次：c=ab+a+b=1×2+1+2=5
第二次，5＞3＞1所以有：c=2×5+2+5=17
（2）p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1
因為c＞p＞q，所以第二次得：c₂=（c₁+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）²（q+1）-1
所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，所以第三次可得c₃=（c₂+1）（c₁+1）-1=（p+1）³（q+1）²-1
第四次可得：c₄=（c₃+1）（c₂-1）-1=（p+1）⁵（q+1）³-1
故經(jīng)過5次擴充，所得數(shù)為：（q+1）⁸（p+1）⁵-1
∴m=8，n=5
故答案為：17；13．

點評：本題考查進行簡單的合情推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．