Question

已知偶函數(shù)f（x）=cosθsinx-sin（x-θ）+（tanθ-2）sinx-sinθ的最小值是0，求f（x）的最大值及此時x的集合．

Answer 1

分析：把f（x）利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)即f（-x）=f（x）得到tanθ=2，則f（x）=sinθ（cosx-1），然后根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinθ和cosθ，把sinθ的兩個值代入到f（x）中，根據(jù)f（x）的最小值為0舍去一個，得到f（x）的解析式為f（x）=-

2 5

5

（cosx-1），f（x）取最大值時cosx取-1，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象即可得到x取值范圍．

解答：解：f（x）=cosθsinx-（sinxcosθ-cosxsinθ）+（tanθ-2）sinx-sinθ
=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ
因為f（x）是偶函數(shù)，所以對任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即sinθcos（-x）+（tanθ-2）sin（-x）-sinθ=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ，
即（tanθ-2）sinx=0，所以tanθ=2
由

sin2θ+cos2θ=1 sinθ cosθ =2

解得

sinθ= 2 5 5 cosθ= 5 5

或

sinθ=- 2 5 5 cosθ=- 5 5

，此時，f（x）=sinθ（cosx-1）．
當sinθ=

2 5

5

時，f（x）=

2 5

5

（cosx-1）最大值為0，不合題意最小值為0，舍去；
當sinθ=-

2 5

5

時，f（x）=-

2 5

5

（cosx-1）最小值為0，
當cosx=-1時，f（x）有最大值為

4 5

5

，自變量x的集合為{x|x=2kπ+π，k∈Z}．

點評：考查學生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關系化簡求值以及掌握函數(shù)是偶函數(shù)時滿足的條件，會根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求出函數(shù)的最值及會求取最值時角度的范圍．