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已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為
2
2
，F1，F2為其焦點，一直線過點F1與橢圓相交于A、B兩點，且△F2AB的最大面積為
2
，求橢圓的方程．
由e=
2
2
得a：b：c=
2
：1：1，所以橢圓方程設為x2+2y2=2c2
設直線AB：x=my-c，由
x=my-c
x2+2y2=2c2
得：（m2+2）y2-2mcy-c2=0
∴△=4m2c2+4c2（m2+2）=4c2（2m2+2）=8c2（m2+1）＞0
設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1，y2是方程的兩個根
由韋達定理得
y1+y2=
2mc
m2+2
y1y2=-
c2
m2+2
，所以|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
2
2
c
m2+1
m2+2

∴S△ABF2=
1
2
|F1F2||y1-y2|=c•2
2
c
m2+1
m2+2
=
2
2
c2
m2+1
+
1
m2+1
≤2
2
c2•
1
2
=
2
c2
當且僅當m=0時，即AB⊥x軸時取等號
∴
2
c2=
2
，c=1
∴所求橢圓方程為
x2
2
+y2=1
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知動點P（x，y）滿足，
x2+y2-4x+6y+13
+
x2+y2+6x+4y+13
=
26
，則
y-1
x-3
取值范圍（　�。�
A．(-∞，
1
2
]∪[4，+∞)		B．(-∞，
1
4
]∪[2+∞)		C．[
1
2
，4]		D．[
1
4
，2]

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

橢圓mx2+ny2=1與直線y=1-x交于M、N兩點，過原點與線段MN中點的直線的斜率為
2
2
，則
m
n
的值為（　　）
A．
2
2
B．
2
2
3
C．
9
2
2
D．
2
3
27

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的兩條漸近線方程是y=x和y=-x，且過點D(
2
，
3
)．l1，l2是過點P(-
2
，0)的兩條互相垂直的直線，且l1，l2與雙曲線各有兩個交點，分別為A1，B1和A2，B2．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求l1斜率的范圍
（3）若|A1B1|=
5
|A2B2|，求l1的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為
3
直線與拋物線在x軸上方的交點為M，過M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標原點，若四邊形OFMN的面積為4
3
．
（1）求拋物線的方程；
（2）若P，Q是拋物線上異于原點O的兩動點，且以線段PQ為直徑的圓恒過原點O，求證：直線PQ過定點，并指出定點坐標．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，焦距為2c；若以F2為圓心，b-c為半徑作圓F2，過橢圓上任一點P（x0，y0）作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于
3
2
（a-c）．
（Ⅰ）證明：|PF2|的最小值為a-c；
（Ⅱ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅲ）若橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為2的直線l與橢圓交于A、B兩點，若OA⊥OB，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

AB是過C：y2=4x焦點的弦，且|AB|=10，則AB中點的橫坐標是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y2=6x，過點p（3，1）引一條弦p1p2使它恰好被點p平分，求這條弦所在直線方程及|p1p2|．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點的雙曲線C的離心率為
2
3
3
，一條準線方程為x=
3
2

（1）求雙曲線C的標準方程
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

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