已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為
3
直線與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)為M，過(guò)M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OFMN的面積為4
3
．
（1）求拋物線的方程；
（2）若P，Q是拋物線上異于原點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，且以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)O，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn)，并指出定點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）∵拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（
p
2
，0），
∴過(guò)F且斜率為
3
直線方程為y=
3
(x-
p
2
)，
聯(lián)立
y2=2px
y=
3
(x-
p
2
)
，得12x2-20px+3p2=0，
解得x=
3
2
p，或x=
p
6
，
∵直線與拋物線在x軸上方的交點(diǎn)為M，
∴M（
3
2
p，
3
p），
∵過(guò)M作y軸的垂線，垂足為N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OFMN的面積為4
3
，
∴
1
2
(
p
2
+
3p
2
)×
3
p=4
3
，解得p=2，
∴拋物線的方程y2=4x．
（2）證明：①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=x0，x0＞0，
則x0=2
x0
，解得x0=4，直線PQ過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，假設(shè)直線直線PQ過(guò)定點(diǎn)（4，0），則設(shè)直線PQ的方程為y=k（x-4），
聯(lián)立
y2=4x
y=k(x-4)
，得k2x2-（8k2+4）x+16k2=0，
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=8+
4
k2
，x1x2=16，
∴y1+y2=k（x1-4）+k（x2-4）=k（8+
4
k2
）-8k=
4
k
，
y1y2=k（x1-4）•k（x2-4）
=k2[x1x2-4（x1+x2）+16]
=k2[16-4（8+
4
k2
）+16]=-16．
∴|PQ|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2

=
[(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2]

=
(8+
4
k2
)2-4×16+(
4
k
)2-4×(-16)

=2
4
k4
+
20
k2
+16
．
∵線段PQ的中點(diǎn)A（4+
2
k2
，
2
k
），
∴|AO|=
(4+
2
k2
)2+(
2
k
)2
=
4
k4
+
20
k2
+16
．
∴以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)O．
即假設(shè)成立，故直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)（4，0）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若點(diǎn)P到點(diǎn)F（
1
2
，0）的距離與它到直線x+
1
2
=0的距離相等．
（1）求P點(diǎn)軌跡方程C，
（2）A點(diǎn)是曲線C上橫坐標(biāo)為8且在X軸上方的點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)且斜率為1的直線l與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求C與l所圍成的圖形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（-6，0），過(guò)點(diǎn)B的直線l與過(guò)點(diǎn)C的直線m相交于點(diǎn)A，設(shè)直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，
（1）如果k1•k2=-
4
9
，求點(diǎn)A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果k1•k2=
4
9
，求點(diǎn)A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的離心率；
（3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根據(jù)（1）和（2），你能得到什么結(jié)論？（不需要證明所得結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓mx2+ny2=1，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，|PQ|=
10
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（　�。�
A．相交B．相切
C．相離D．與p的取值相關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為
2
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，一直線過(guò)點(diǎn)F1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且△F2AB的最大面積為
2
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知定點(diǎn)F（2，0），動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與直線x=-2相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A（x1，y1）、B（x1，y2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為軌跡C上一點(diǎn)，若向量
OM
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a為正常數(shù)）．過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線交拋物線C于點(diǎn)D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實(shí)數(shù)a，b，k滿足的等量關(guān)系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），離心率為
2
2
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍．

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