Question

設(shè)函數(shù)f(x)=1-

1

x-1

，
（Ⅰ）判斷并證明f（x）在（1，+∞）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)在x∈[2，6]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)1＜x₁＜x₂，作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，即可證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）的單調(diào)性；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，可得f（x）在[2，6]上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)在x∈[2，6]的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=1-

1

x-1

，
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
下面給出證明：
設(shè)1＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（1-

1

x1-1

）-（1-

1

x2-1

）=

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
則x₁-x₂＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴

x1-x2

(x1-1)(x2-1)

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[2，6]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=2時，f（x）取得最小值f（2）=0，
當(dāng)x=6時，f（x）取得最大值f（6）=

4

5

，
∴函數(shù)在x∈[2，6]的最大值為

4

5

，最小值為0．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用以及單調(diào)性的判斷與證明．考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．求函數(shù)最值經(jīng)常會應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，要掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．屬于中檔題．