Question

9．已知f（x）=a+lnx，記g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）已知函數(shù)h（x）=f（x）•g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）（ⅰ）求證：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≤x；
（ⅱ）當(dāng)a=2時(shí)，若不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，由題意可得h′（x）≤0恒成立．即有1-a≤lnx在x≥1恒成立，求得右邊函數(shù)的最小值即可；
（Ⅱ）（i）令函數(shù)y=1+lnx-x，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證；
（ii）當(dāng)a=2時(shí)，不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立即為t≤（1+$\frac{1}{x}$）（2+lnx）在x∈[1，+∞）恒成立．令函數(shù)y=（1+$\frac{1}{x}$）（2+lnx），求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=f′（x）=$\frac{1}{x}$，
h（x）=f（x）•g（x）=（a+lnx）•$\frac{1}{x}$，
h′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-（a+lnx）•$\frac{1}{{x}^{2}}$，
由題意可得h′（x）≤0恒成立．
即有1-a≤lnx在x≥1恒成立，由lnx≥0，
則1-a≤0，即為a≥1；
（Ⅱ（i）證明：令函數(shù)y=1+lnx-x，
y′=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增．
即有x=1處取得極大值，也為最大值，且為0，
則1+lnx-x≤0，
則f（x）≤x；
（ii）當(dāng)a=2時(shí)，不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立即為
t≤（1+$\frac{1}{x}$）（2+lnx）在x∈[1，+∞）恒成立．
令函數(shù)y=（1+$\frac{1}{x}$）（2+lnx），則y′=$\frac{x-1-lnx}{{x}^{2}}$，
由x≥1時(shí)，x-1≥lnx成立，可得y′≥0，函數(shù)y遞增．
則函數(shù)y的最小值為4．
則t≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，同時(shí)考查不等式恒成立思想，屬于中檔題．