已知函數(shù)f(x)=x|x|+px+q(x∈R),給出下列四個(gè)命題:①f(x)為奇函數(shù)的充要條件是q=0;②f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,q)對(duì)稱;③當(dāng)p=0時(shí),方程f(x)=0的解集一定非空;④方程f(x)=0的解的個(gè)數(shù)一定不超過(guò)兩個(gè).
其中所有正確命題的序號(hào)是________.
①②③
分析:①q=0時(shí),可由奇函數(shù)的定義判斷正確,反過(guò)來(lái)也成立.②由①可知q=0時(shí),f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)=x|x|+px+q的圖象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|個(gè)單位,故關(guān)于(0,q)對(duì)稱正確;③當(dāng)p=0時(shí),函數(shù)f(x)=x|x|(x∈R)是增函數(shù),方程f(x)=0的解集一定非空;④中取p=-1,q=0,即可判斷錯(cuò)誤.
解答:①q=0時(shí),f(-x)=-x|x|-bx=-f(x),故f(x)是奇函數(shù),反之也成立,故①正確;
②由①可知q=0時(shí),f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(x)=x|x|+px+q的圖象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|個(gè)單位,故關(guān)于(0,q)對(duì)稱正確;
對(duì)于③當(dāng)p=0時(shí),函數(shù)f(x)是增函數(shù),方程f(x)=0的解集一定非空,正確;
對(duì)于④取p=-1,q=0,則f(x)=x|x|-x=x(|x|-1)=0,x=0或x=±1,故④錯(cuò)誤;
故答案為:①②③.
點(diǎn)評(píng):本題考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和零點(diǎn)問(wèn)題,綜合性強(qiáng),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.