Question

已知函數(shù)f（x）=x|x|+px+q（x∈R），給出下列四個(gè)命題：①f（x）為奇函數(shù)的充要條件是q=0；②f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，q）對(duì)稱；③當(dāng)p=0時(shí)，方程f（x）=0的解集一定非空；④方程f（x）=0的解的個(gè)數(shù)一定不超過(guò)兩個(gè)．
其中所有正確命題的序號(hào)是________．

Answer 1

①②③
分析：①q=0時(shí)，可由奇函數(shù)的定義判斷正確，反過(guò)來(lái)也成立．②由①可知q=0時(shí)，f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f（x）=x|x|+px+q的圖象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|個(gè)單位，故關(guān)于（0，q）對(duì)稱正確；③當(dāng)p=0時(shí)，函數(shù)f（x）=x|x|（x∈R）是增函數(shù)，方程f（x）=0的解集一定非空；④中取p=-1，q=0，即可判斷錯(cuò)誤．
解答：①q=0時(shí)，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)，反之也成立，故①正確；
②由①可知q=0時(shí)，f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）=x|x|+px+q的圖象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|個(gè)單位，故關(guān)于（0，q）對(duì)稱正確；
對(duì)于③當(dāng)p=0時(shí)，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，方程f（x）=0的解集一定非空，正確；
對(duì)于④取p=-1，q=0，則f（x）=x|x|-x=x（|x|-1）=0，x=0或x=±1，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．
點(diǎn)評(píng)：本題考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．