Question

已知函數(shù)f(x)=2lnx-x²（x＞0）。
（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與最值；
（2）若方程2xlnx+mx-x³=0在區(qū)間[，e]內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（3）如果函數(shù)g(x)=f(x)-ax的圖像與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求證：g′(px₁+qx₂)＜0（其中，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，正常數(shù)p，q滿足p+q=1，q＞p）

Answer 1

解：（1）∵，x＞0，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，，f(x)單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極大值，也是最大值，即為-1，但無最小值；
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；最大值為-1，但無最小值。
（2）方程化為，
由（1）知，f(x)在區(qū)間上的最大值為-1，
，
∴f(x)在區(qū)間上的最小值為，
故在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)根需滿足，
∴，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為。
（3）∵，又f(x)-ax=0有兩個(gè)實(shí)根，
∴，
兩式相減，得，
∴，
于是
=，
，
要證：，只需證：，
只需證：， (＊)
令，
∴(＊)化為，
只證即可，
 
==
∴t-1＜0，
∴，∴在（0，1）上單調(diào)遞增，∴，
∴，∴，
即：，
∴。