Question

【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）用定義法討論并證明函數(shù)的單調性.

Answer 1

【答案】（1） （2）在定義域上為減函數(shù)，證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義，得出，化簡得到，從而得到或1，再判斷函數(shù)定義域是否關于原點對稱，即可確定實數(shù)的值；

(2) 令，利用作差法比較，的大小，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性得，即，結合函數(shù)單調性的定義，即可判斷函數(shù)的單調性.

解：（1）由及函數(shù)為奇函數(shù)可知，

有，得

有，得，得，故有或1，

①當時，，此時函數(shù)定義域為，不關于原點對稱，不可能是奇函數(shù)，

②當時，，令，可得，故此時函數(shù)的定義域為關于原點對稱，函數(shù)為奇函數(shù).

由上知.

（2）由（1）知，

令，有，

∵，

∴，，，

∴，可得，即，

利用對數(shù)函數(shù)的單調性得，即，

故函數(shù)在定義域上為減函數(shù).