Question

2．已知等差數(shù)列{a_n}的前3項和為6，前8項和為-4．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（4-a_n）•3ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè){a_n}的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出前3項和前8項的和，求的a₁和d，進而根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得a_n．
（2）根據(jù)（1）中的a_n，求得b_n，進而根據(jù)錯位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=6}\\{8{a}_{1}+28d=-4}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，d=-1
故a_n=3+（n-1）（-1）=4-n；
（2）由（1）的解答得，b_n=n•3^n-1，于是
S_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1．
將上式兩邊同乘以3，得：
3S_n=1•3¹+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ．
將上面兩式相減得到：
2S_n=n•3ⁿ-（1+3+3²+…+3^n-1）
=n•3ⁿ-$\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$，
于是S_n=$（\frac{n}{2}-\frac{1}{4}）•{3}^{n}+\frac{1}{4}$．

點評 本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識和劃歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．