精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PC=4
2
．M是PC的中點(diǎn)，在DM上有點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：AP∥GH．
分析：（1）四棱錐P-ABCD以四邊形ABCD為底，以PA為高，可求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）證明PA∥平面BMD，可得結(jié)論．
解答：（1）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，而AC=2
2
，PC=4
2
，∴PA=
PC2-AC2
=2
6

∴三棱錐P-ABCD的體積為V=
1
3
•PA•SABCD=
1
3
×2
6
×4=
8
6
3
；
（2）證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO．
∵ABCD為正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，
又M為PC中點(diǎn)，∴OM是△CAP的中位線，∴AP∥OM，
而AP?平面BMD，OM?平面BMD，∴PA∥平面BMD．
又∵平面PAHG∩平面BMD=GH，
∴PA∥GH．
點(diǎn)評：本題考查四棱錐體積的計算，考查線面平行的判定與性質(zhì)，掌握線面平行的判定定理是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點(diǎn)A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大�。划�(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．

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