Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1-a

2

x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）過點P（1，1），求曲線y=f（x）在點P處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先通過導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，然后利用點斜式求方程；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論f'（x）=0的兩根為1，

1

a-1

兩根的大小，以及與2的大小比較．

解答： 解：（Ⅰ）曲線y=f（x）過點P（1，1），則a=1，f(x)=x-lnx， f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．∵f'（1）=0，∴曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y=1．---------------（4分）
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞）f′(x)=(1-a)x+a-

1

x

=

(1-a)x2+ax-1

x

=

[(1-a)x+1](x-1)

x

-------------（5分）
當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，得x＞1，
∴x∈[1，2]時f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
當(dāng)1-a＞0即a＜1時，f'（x）=0的兩根為1，

1

a-1

，且1＞

1

a-1

，∴x∈[1，2]時f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
當(dāng)1-a＜0即a＞1時，f'（x）=0的兩根為1，

1

a-1

，
①當(dāng) 1≥

1

a-1

即a≥2時，x∈[1，2]時f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，f(x)max=f(1)=

a+1

2

；
②當(dāng)1＜

1

a-1

即1＜a＜2時，x∈(1，

1

a-1

)時f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，x∈(

1

a-1

，+∞)時f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
若

1

a-1

≥2即1＜a≤

3

2

時，x∈[1，2]時f（x）單調(diào)遞增，f（x）_max=f（2）=2-ln2；
若

1

a-1

＜2，即

3

2

＜a＜2時，f(x)max=f(

1

a-1

)=

2a-1

2(a-1)

+ln(a-1)；
綜上，f(x)max=

2-ln2，a≤ 3 2 2a-1 2(a-1) +ln(a-1)， 3 2 ＜a＜2 a+1 2 ，a≥2

．---------------------------（12分）

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用以及通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的最值，考查了討論的思想，屬于難題．