Question

已知雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為左支一點，P到左準線的距離為d，若d，|PF₁|，|PF₂|成等比數列，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：將等比數列的概念與雙曲線的第二定義結合，再利用雙曲線的簡單性質得到|PF₁|與其離心率e的關系，通過不等式|PF₁|≥c-a即可求得該雙曲線的離心率的取值范圍．
解答：∵該雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，又P為左支一點，則|PF₂|-|PF₁|=2a，
設雙曲線的離心率為e，依題意，==e，
∵=e，
∴=e-1，即=e-1，
∴|PF₁|=，又|PF₁|≥c-a，
∴≥c-a，又c＞a，
∴0＜≤，即（e-1）≤，
∴（e-1）²≤，又e=＞1
∴1＜e≤1+．
故選D．
點評：本題考查等比數列的性質，考查雙曲線的第二定義及雙曲線的簡單性質，突出轉化思想與不等式的應用，屬于中檔題．