Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx，（a∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)方程f（x）=2ax有唯一解時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求定義域，再求導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，將方程f（x）=2ax有唯一解，轉(zhuǎn)化為g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．

解答 解：（1）由已知得x＞0且$f'（x）=2x-\frac{2a}{x}$．…（1分）
當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞），沒有減區(qū)間…（2分）
當(dāng)a＞0時，f′（x）=$\frac{2（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）}{x}$，
所以當(dāng)$x∈（0，\sqrt{a}）$時，f'（x）＜0，當(dāng)x∈（$\sqrt{a}$，+∞）時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間是$（0，\sqrt{a}）$，增區(qū)間是$（\sqrt{a}，+∞）$…（4分）
（2）記g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
$g'（x）=2x-\frac{2a}{x}-2a=\frac{2}{x}（{x^2}-ax-a）$，
令g'（x）=0，得x²-αx-a=0，△=a²+4a=a（a+4），
（i）當(dāng)-4≤a＜0時，△≤0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)； …（5分）
當(dāng)a＜-4時，△＞0，設(shè)方程x²-ax-a=0的兩個根為x₁，x₂，
x₁+x₂=a＜0，x₁•x₂=-a＞0
所以當(dāng)x＞0時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．…（6分）
所以當(dāng)a＜0時，g（1）=1-2a＞0且x→0時，g（x）→-∞，
所以方程f（x）=2ax有唯一解…（7分）
（ ii）當(dāng)a＞0時，方程x²-ax-a=0的兩個根x₁＜0，x₂＞0
當(dāng)x∈（0，x₂）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)x=x₂時，g（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）∵g（x）=0有唯一解，∴g（x₂）=0…（9分）
則$\left\{{\begin{array}{l}g（{x_2}）=0\\ g'（{x_2}）=0\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}x_2^2-2aln{x_2}-2a{x_2}=0\\ x_2^2-a{x_2}-a=0\end{array}}\right.$，2alnx₂+ax₂-a=0，∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0（※）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，∵在x＞0時，h（x）是增函數(shù)，∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，∴方程（※）的解為x₂=1，且$x_2^2-a{x_2}-a=0$，所以$a=\frac{1}{2}•$
綜上所述，當(dāng)a＜0或$a=\frac{1}{2}$時，方程f（x）=2ax有唯一解…（12分）

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，同時考查了函數(shù)的零點問題．在解決數(shù)學(xué)問題的時候，經(jīng)常會運用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，在運用的時候關(guān)鍵是要弄清楚分類討論的依據(jù)是什么．屬于難題．