Question

16．焦距為4，離心率是方程2x²-3x+1=0的一個(gè)根，且焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．由方程2x²-3x+1=0，解得x，由離心率是方程2x²-3x+1=0的一個(gè)根，可得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又2c=4，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
由方程2x²-3x+1=0，解得x=1或$\frac{1}{2}$，
由離心率是方程2x²-3x+1=0的一個(gè)根，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
又2c=4，a²=b²+c²，聯(lián)立解得c=2，a=4，b²=12．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．