Question

15．設(shè)m∈R，過定點A的動直線x+my+m=0和過定點B的動直線mx-y-m+2=0交于點P（x，y），則|PA|+|PB|的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\sqrt{5}，2\sqrt{5}}]$
• B． $[{\sqrt{10}，2\sqrt{5}}]$
• C． $[{\sqrt{10}，4\sqrt{5}}]$
• D． $[{2\sqrt{5}，4\sqrt{5}}]$

Answer 1

分析 可得直線分別過定點（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|²+|PB|²=10．三角換元后，由三角函數(shù)的知識可得．

解答 解：由題意可知，動直線x+my+m=0經(jīng)過定點A（0，-1），
動直線mx-y-m+2=0即 m（x-1）-y+2=0，經(jīng)過點定點B（1，2），
∵動直線x+my+m=0和動直線mx-y-m+2=0的斜率之積為-1，始終垂直，
P又是兩條直線的交點，∴PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
設(shè)∠ABP=θ，則|PA|=$\sqrt{10}$sinθ，|PB|=$\sqrt{10}$cosθ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴|PA|+|PB|=$\sqrt{10}$（sinθ+cosθ）=2$\sqrt{5}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴θ+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴2$\sqrt{5}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[$\sqrt{10}$，2$\sqrt{5}$]，
故選：B

點評 本題考查直線過定點問題，涉及直線的垂直關(guān)系和三角函數(shù)的應(yīng)用，屬中檔題．