Question

已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x-y+b=0是拋物線y²=4x的一條切線．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把拋物線和直線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)△=0求出b，再根據(jù)兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形得出a和b的關(guān)系式，求得a．
（2）分別求出L與x軸平行時(shí)和L與x軸垂直時(shí)的圓的方程，聯(lián)立可求得兩圓的切點(diǎn)，進(jìn)而推斷所求的點(diǎn)T如果存在只能是（0，1）．當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）；當(dāng)直線L不垂直于x軸設(shè)直線L的方程與橢圓方程聯(lián)立求得證明出TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）．
解答：解：（1）由
因直線y=x+b與拋物線y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0∴b=1，
∵圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角
形，∴
故所求橢圓方程為
（2）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：
當(dāng)L與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x²+y²=1
由
即兩圓相切于點(diǎn)（0，1）
因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）
事實(shí)上，點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)，證明如下．
當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1）
若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L：
由
記點(diǎn)A（x₁，y₁）、


=
=
所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的綜合問題．常需要把直線與曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找到解決問題的突破口．