求證:雙曲線-=1(a>0,b>0)上任何一點到兩條漸近線的距離之積為定值.

證法一:設(shè)P(x0,y0)是雙曲線上任意一點,

由雙曲線的兩條漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0,

可得P到bx+ay=0的距離d1=;

P到bx-ay=0的距離d2=.

∴d1d2=·=.

又P在雙曲線上,∴+=1,即b2x02-a2y02=a2b2.?

∴d1·d2=,即P到兩條漸近線的距離之積為定值.

證法二:設(shè)雙曲線上任一點P(asecθ,btanθ),?

∵雙曲線的兩條漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0,

∴點P到直線bx+ay=0的距離

d1= =,

點P到直線bx-ay=0的距離?

d2= =.

∴d1·d2=·

==.

∴雙曲線上任一點到兩條漸近線的距離之積為?定值?.?

溫馨提示:(1)所謂定值,是與P點在曲線上的位置無關(guān),為了達到目標明確,可先通過特殊的情況,求出一個常數(shù),猜想其定值.?

(2)雙曲線-=1(a>0,b>0)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),不作過高要求.在解題中靈活應(yīng)用即可,類似于換元法解題,將可達到一元化的目的.

練習冊系列答案
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已知中心在原點的雙曲線C的右焦點F2（2，0），漸近線方程為y=±
3
3
x
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過右焦點F2的直線l：x=my
+2
與雙曲線C右支交于A、B兩個不同點，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求證：
1
|F2A|
+
1
|F2B|
為定值．

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